[PS][백준/1008] 절대오차와 상대오차

문제

1008번: A/B

 

절대오차와 상대오차

이 문제에서 "실제 정답과 출력값의 절대오차 또는 상대오차가 10⁻⁹ 이하면 정답" 이 정확히 어떻게 해결해야 한다는 것인지 몰랐기 때문에 고민해보아야 했습니다.

 

오차가 10⁻⁹(0.000000001)보다 작아야한다는 의미인건 대충 짐작했지만, 그렇다면 절대오차와 상대오차가 무엇을 의미하는 것인지 알아야 했습니다.

 

오차 (Error)

오차란 참값과 근삿값의 차이를 말합니다. 즉, 근삿값에서 참값을 뺀 값입니다. 

 

절대오차 (Absolute Error)

절대오차는 참값에서 결과값을 뺀 수치의 "절댓값"을 말합니다. 
수치적인 차이를 의미하기 때문에 측정된 값과 같은 단위를 사용합니다.

예를 들어 170cm(참값)가 되고싶은 어린이의 실제 키가 136cm(결과값)라면 절대오차는
170(cm) - 136(cm) = 34(cm) 가 됩니다.

 

상대오차 (Relative Error)

상대오차는 절대오차를 참값으로 나눈 값을 말합니다. 백분율오차(Percentage Error)라고도 합니다. 
때문에 절대오차를 구해야 상대오차를 구할 수 있습니다.

예로 위의 예시에서 절대오차는 34cm이고, 참값인 170cm를 나누면 
34(cm) / 170(cm) = 0.2 가 나옵니다. 

0.2에 100을 곱해 백분율로 바꾼 20%가 상대오차가 됩니다.

 

오차가 10⁻⁹ 이하면 정답

절대오차

절대오차가 10⁻⁹보다 작으면 정답이라는 의미는, 실제 정답에 0.0000000010 이하의 값을 더하거나 빼도 정답으로 처리한다는 의미입니다. 

예를 들어 실제 답이 1.1111111111 인데 내가 출력한 답이 1.1111111000이라면, 오차가 0.0000000111입니다.
즉, 오차가 10⁻⁹보다 0.0000000101만큼 크므로 정답으로 인정되지 않습니다.

다시 말하자면, 정확한 답을 연산했다 하더라고 최소한 소수점 아래 9번째 자리까지는 출력해야 정답으로 인정되는 오차범위 내에 들어간다는 의미입니다. 

 

상대오차

상대오차는 절대오차와 다릅니다. 

상대오차 10⁻¹까지 허용한다고 하면, 10⁻¹에 100을 곱한 10%의 오차까지 허용한다는 말입니다. 만약 10⁻²까지 허용한다고 하면, 1%의 오차까지 허용한다는 의미입니다.

즉 상대오차가 10⁻⁹보다 작으면 정답이라는 의미는, 0.0000001%의 오차까지 허용한다는 의미가 됩니다. 

 

해결

즉 이 문제를 해결하려면,
1. 소수점 아래 9번째 이하까지 정밀한 연산이 되어야 합니다.
2. 연산한 값을 소수점 9번째 자리까지 출력해야 합니다.

 

부동소수점형

C++에서 실수는 부동소수점 방식으로 표시하는데, float과 double, long double 자료형을 이용할 수 있습니다.
float형은 유효숫자를 6자리까지 나타낼 수 있기 때문에 double형을 사용하는게 적당합니다.

	float (단일정밀도 부동소수점)	double (두배정밀도 부동소수점)
크기	4바이트 (32비트)	8바이트 (64비트)
지수 부분	8비트	11비트
가수 부분	나머지 24비트	나머지 53비트
유효 숫자	6자리	15자리

 

자리수 고정

C++에서 cout을 통해 소수점 아래 9번째 자리까지 출력하려면, cout.precision()을 사용할 수 있습니다.
precision()은 정수를 포함한 전체 자리수를 n자리로 표현하는 것입니다. 

정수 부분에 상관 없이 소수점 아래만 고정하려면, fixed를 precision() 이후에 사용하면 됩니다. precision()으로 넘긴 값 만큼 소수점 아래자리수가 고정됩니다.

fixed를 해제하려면, unsetf(ios::fixed)를 사용하면 됩니다.

 

코드

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    double a,b;
    
    cin >> a >> b;
    
    cout.precision(9); // 정수포함 9자리로 설정
    cout << fixed; // 소수점 아래 9자리로 고정
    cout << a/b;
    cout.unsetf(ios::fixed); // fixed 해제
    
    return 0;
}

 

참고

DevDocs